微分幾何

第一章 可微分流形

  1. Topological Manifold
  2. Vector fields (1)Lie bracket (2)Lie derivative (3)向量場奇異點的標數(index) (4)holonomy
    Vector Fields 大綱     complete vector field
  3. Christoffel symbols
  4. Divergence
  5. immersion and embedding
  6. Frobenius可積分定理 [積分因子 Lie群的觀點] [可積的動力系統]
    [常均曲率曲面] :H.C.Wente 1986 發展的技巧, 建立起常均曲率曲面與可積系統之關聯, 常均曲率環面因之而能被深入探討。
    如何理解三者的關係
  7. flows  
  8. Tangent bundle
  9. manifolds with boundary

第二章 Differential Forms

  1. Differential Forms  
  2.  [Cartan magic formula] 流形上的微分有三種 (1)外微分(for differential forms)  (2)Lie derivative  (3)Covariant derivative
  3. Stokes定理   [習作] 向量場的微積分 (1)散度 梯度 旋度
  4. 曲面理論的活動標架法 (結構方程式) Gauss-Codazzi equations  Structure equations

第三章 黎曼流形 (M,g)

  1. Riemannian metric  Affine connection   induced metric  
    曲線長度在座標變換下不變
  2. Covariant derivative , parallelism ,聯絡(connection)
  3. Levi-Civita connection   V沿 c 平行移動   [平行移動與傅科擺]
  4. Exponential map      normal coordinates(正則座標系)以簡化計算。normal neighborhood
  5. 變分法
  6. Geodesic    二階變分式  
  7. Hopf-Rinow定理
  8. Einstein manifold

第四章 曲率     

  1. (1)曲率(古典) (2)曲率
  2. 黎曼曲率張量
  3. (Cartan) Structure equation (1)connection forms (2)curvature forms (3)R^n的結構方程
  4. Gauss Bonnet定理
  5. (1)sectional curvature (2)Ricci curvature (3)scalar curvature   [Ricci flow]
  6. Isometric Immersions
  7. Minimal surfaces

第五章  Jacobi fields  辛格定理

第六章 complete manifolds       Hadamard定理

第七章  Manifold of constant curvature

第八章 能量的變分    Bonnet-Myers定理   Rauch比較定理  Morse 指標定理  Synge-Weistein定理

第九章 負曲率流形的基本群

 

幾何專題

  1. [GeodesicsNote]  (1)Hyperbolic plane上的geodesic (2)Geometric Analysis中 用能量的E-L equation推出geodesic equation...
    [蟲洞的測地線]   [the geodsic equations for metric of a charged BH]
  2. Ricci scalar : [Structure equation]  [3-sphere]  [Hyperbolic plane]   [曲率] [Ricci Scalar for the BH spacetime]
  3. [3-sphere] 參看 RG4102    [A] p.106 3.3.3 (4)   p.140 4.2.8 (6)   [Spacetime and Geometry] p.148
    穩定的封閉CMC必為球面 J.L.Barbosa and M.do Carmo 1984
    宇宙可能99%是S^3
    Poincare猜想 : 任何一個單連通 閉(closed) 3維流形一定跟S^3拓撲等價
  4. Hyperbolicplane Lie group內也有 這裡有解出hyperbolic plane的geodesic的微分方程(解)
    [Hyperbolic plane] [Hyperbolic Geometry]
  5.  

 

[Riemann]   [Elie Cartan 1869~1951] Lie group 活動標架法

[Tullio Levi-Civita 1873~194 平行移動 1917    [Gregorio Ricci 1853~1925 ] tensor analysis    [Albert Einstein 1879~1955]

[H]物理學家用微分幾何 侯伯元 侯伯宇

  1. 流形 微分流形與微分形式 [Dirac 磁單極問題 magnetic monopole] [Monopole and four-manifold]
  2. 流形的變換 可積性 李群 李代數 指數映射
  3. 仿射聯絡流形    活動標架 聯絡的曲率 撓率  測地方程式  完整群(holonmy group)
  4. 黎曼流形 黎曼曲率張量 Ricci張量 等長變換 共形變換 截面曲率 愛因斯坦引力場方程  測地線 Jacobi場
    黎曼流形上有兩個聯絡:(1)Levi-Cvita聯絡 (2)自旋聯絡
  5. 流形的同倫群與同調群 (1) 對流形進行分類 (2)標誌流形的整體結構
  6. 第十章 辛流形與切觸流形  [物理幾何化]

  1. [時空的樂章---引力波百年漫談]
  2. [幾何與廣義相對論中的純量曲率] 提到: (1)黎曼曲率張量二維時即為高斯曲率 (2)二維截面曲率(3)對黎曼曲率張量取traces 第一個trace稱為Ricci曲率
  3. [相對論中一些未解決的問題]
  4. [里奇曲率的應用] Cedric Villani   賣羊角麵包的故事
  5. 研究肥皂泡先驅Karen Uhlenbeck (1942~ )2019年獲Abel獎 用能量定義minimal surface 從而推廣到gauge theory
  6. 將幾何分析推廣到工程實踐是老故銘記在心的歷史使命    [A new Gold Age of Minimal Surfaces] [我看Antoni Gaudi]
  7. 黎曼流形與人工智能         [The Manifold Ways of Perception]
  8. 黎曼流形

參考書目

  1. An Introduction to Riemannian Geometry     Jose Natario                  DG01
  2. Riemannian Geometry                                  do Carmo                        DG02
  3. Differential Forms and Connections             Darling                            DG03
  4. 大域微分幾何                                             黃武雄                            DG04
  5. Differtial Geometry with Application to Mechanics and Physics     Yves Talpaert     DG05
  6. Lectures on Geometry of Manifolds              Liviu I. Nicolaescu          DG06
  7. Spacetime and Geometry                              Sean Carroll                    DG07    [ProfoundPhysics]
  8. Geometry of Manifolds                                 Richard J.Crittenden        DG08
  9. 微分幾何及其在物理學中的應用              王興中                           DG09
  10. 微分幾何講義      陳省身                                                                   DG10
  11. Differental Geometry 杜武亮                                                               DG11
  12. Riemannian Geometry and Geometric Analysis     Jurgen Jost             DG12    
  13. A course in modern mathematical physics     Peter Szekeres
  14. geometric Mechanics                                     Darryl D Holm
  15. Mathematical physics : Classical Mechanics  Andreas Kmauf
  16. Differential forms with applications to the physical sciences  Harley Flanders
  17. [H] 物理學家用微分幾何 侯伯元 侯伯宇                           檔名 DGforP

曹則賢先生推薦 相對論的書

  1. Einstein的論文
  2. Einstein's Relativity   Max Born
  3. Space-time and Matter   Hermann Weyl
  4. General Theory of Relativity   Dirac
  5. Gravitation and Cosmology   Weinberg
  6. General Relativity   Wald
  7. Spacetime and Geometry   Carroll
  8. 相對論(少年版)   曹則賢