Riemannian geometry and geometric Analysis      jurgen Jost 著作等身

[丘成桐數學研究中心]---求真  幾何的Langlands綱領  猜想   [單值化問題]

[Seminar on Differential Geometry]   [Charles Morrey]   [鄭紹遠]   [李偉光] [ or]  [Rick Schoen]   [Leon Simon]  [Simon Donaldson]  [Gang Tian]

[Geometric Analysis   Peter Li]

第一章 Remannian Manifolds

  1. 正則值原像定理[preimage theorem含隱函數定理]
  2. Hodler不等式   PDE的能量估計   能量泛函的Euler Lagrange方程是測地線方程[與 [哈密頓方程等價]
    [梯度估計與幾何分析]
  3. 深入了解黎曼流形上的指數映射
  4. 等距同構(isometry)
  5. heat flow method

第二章 Lie groups and Vector Bundles   [Bundle chart of TS^1]

  1. Vector Bundles
  2. Complex and Holomorphic Vector Bundles
  3. Integral Curves of Vector Fields : Lie Algebra    geodesic flow   Lie bracket   Lie derivative
  4. Symplectic Structures
  5. Lie Groups   如何構造left invariant vector field
  6. Spin Strutures

第三章 The Laplace operator and Harmonic Differential Forms

  1. The Laplace Operator on functions   Sobolev space   [Codifferential] [何謂Dirichlet 積分]
  2. The spetrum of the Laplace operator   [Laplacian on a manifold]  
  3. 黎曼流形的Laplace-Beltrami算子的譜(特徵值 特徵函數)決定了(例 熱方程)的[Green function]與熱核[heat kernel]
    Green function method不同領域的應用   [Sturm-Liouville 定]理  [Green function method在heat equation中的例子]
  4. The Laplace operator on forms
  5. Representing Cohomology Classes by harmonic forms
  6. The heat flow and harmonic forms
  7.  [Rellich Embedding Theorem] [Laplacian的幾何意義]...量化了函數在該點附近的平均值與中心值得偏差
  8. Dual connection

第四章 Connections and Curvature

  1. metric connection的Leibniz法則   The Yang-Mills functional   
  2. parallel transport  metric connection的拆解 D=d+A   Levi-Civita connection    Hessian of a differentiable function
  3. Laplace-Beltrami Operator (Weitzenbock公式:分析與幾何的橋樑)   Garding-Korn不等式 [N3401LieDerivative]
  4. Connections for Spin Structures and the Dirac Operator  [Clifford bundle]  [Chirality Operator]  [Spin bundle]   [Lichnerowicz 估計]
  5. 4.5 The Bochner Method   [Bochner Theorem]
  6. 4.6 Eigenvalue Estimates by the Method of Li-Yau

第五章 Geometry of Submanifolds

  1. [Induced connection]   [Second fundamental form]

第六章 Geodesic and Jacobi Fields

  1. 弧長與能量的第一第二變分
  2. Jacobi Fields   Conjugate points
  3. Morse index theorem
  4. Riemannain manifolds of constant curvature
  5. Rauch comparison theorem
  6. The Hessian of the aquared distance function
  7. Volume comparison
  8. ...
  9. ...

第七章 Symmetric Spaces and Kahler Manifolds

第八章 Morse Theory and Floer Homology

第九章 Hamonic Maps between Riemannian Manifolds

第十章 Harmonic Maps from Riemann Surfaces

第11章 Variational problems from Quntum Field Theory

幾何分析的基本哲學 : 幾何結構取決於由自身構造出的一些方程式的解。幾何分析(丘)

幾何分析, 在發展過程中, 如何與幾何、非線性偏微分方程及數學物理互動是一個極具深度的優美主題,幾乎涉及數學的所有分支。

Open problems :

  1. AI : 幾何分析在AI中的應用
  2. 全域黎曼幾何 : (1) Hopf猜想 (2) 嵌入與等度量嵌入問題
  3. 最小曲面與變分法
  4. 幾何流與奇異性形成 Ricci flow Mean Curvature flow
  5. 幾何測度論
  6. 逆問題與幾何PDE