古典微分幾何

§ 曲線論

曲線論的主題在了解活動標架{ t,n,b}能解決那些問題應用到物理上 (1)相對論 (2)Elie Cartan提供了物理學的空間架構

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弧長外擺線(epicycloids)的弧長
曲率扭率 Frenet公式管積問題
擺線(cycloid) 擺線懸練線(catenary) 車軸草(苜蓿) 曳物線(tractrix) 螺旋線(helix) 斜航線(loxodrome) 漸伸線(involute) 包絡線(envelope) [Rolling Hypocycloid]
切線轉角定理
大域幾何 : (1) 四頂點定理 Mukhopadhyaha 1909 Osserman 1985 [證明] (2)Jacobi定理 [The Four Vertex Theorem(01) (02)]
習作

§ 曲面

第一二基本式 [z=f(x,y)的第I,II基本式](未完) 關於z=f(x,y)
[懸鏈面-1744 Euler 發現] [懸鏈面與螺旋曲面] [螺旋面 Helicoid][共軛極小曲面]
均曲率高斯曲率(Gauss Theorema Egregium)
minimal surface (01)
Euler定理1760(關於主法曲率)
環面(torus)的(1)面積(2)管積 (3)高斯曲率 [環面的習作] [測地線 § 12]
Stokes定理 [兩個PDE的解]
Gauss-Bonnet定理的一個應用: Jacobi定理 [在Lorentzian geometry的Jacobi定理]
Stokes定理與Gauss-Bonnet定理是兩個要非常熟練的定理 1.敘述 2.證明 3.理解 4.推廣 5.應用
閉黎曼流形上Gauss-Bonnet定理的內在證明
Poincare-Hopf index定理在一個緊緻曲面S上可微向量場奇點(isolated singular point)的標數(Index)和等於S的尤拉特徵數
奇點的標數與Poincare定理
測地線方程式與測地座標
The Geometry of the Gauss Map (Theorem of Beltrami-Enneper)
Christoffel Symbols
Gauss方程與Codazzi方程 [基本方程式 (1)Weingarten eq (2)Codazzi eq (3)測地線eq
球面上的一曲線的長度 (1)... (2)斜航線
[球的表面積] [球的表面積2] 具有常數K的閉曲面必為球利普曼定理 1901
向量場的共變微分
曲面中的結構方程
[Summary02] [Manfredo P.do Carmo 習作] Manfredo P.do Carmo 1928~2018

§ The Geometry of the Gauss Map

§ The intrinsic geometry of surfaces

§ Global differential geometry