這是給高二同學的一個補充講義
在進入主題前 先交代一個邏輯概念:等價
兩個命題p,q;若p-->q,q-->p都成立 我們稱p,q等價
例如
(1)直線L的同側有A,B兩點,P點在L上,使得PA+PB有最小值
P點在哪裡
L是一面鏡子,光由A點-->p-->B點,走最短路徑,使得入射角=反射角
這是海龍(Heron of Alexandria 10AD~70AD)發現的
在相同介質內 光走最短路徑是最小作用量原理(反射定律)
...
(2)A,B在直線L的反側,如左圖
作A關於L的對稱點A,直線AB交L於P點
則P點即為所求
...
(1)的證明用到"三角形兩邊和大於第三邊"
(2)的證明用到"三角形兩邊差小於第三邊",所以 我們也可以說(1)與(2)是等價的
...
Q:若(1)改成A,B在L的反側 (2)改成A,B在L的同側 則P點在哪裡
...
文章開頭的撞球檯 從P-->A-->B-->Q稱為兩顆星的撞擊 自然合乎反射定律
到高二 空間座標系 我們就把以上的結論推到平面上了
...
註:
已知三邊長 求三角形面積 海龍公式: s=半周長,則三角形面積
中國宋代的秦九韶(1208~1261)1247年提出的"三斜求積術",
兩者是等價的
......
如果在不同介質 例如由空氣中進入水中 就是折射定律
稱為費馬(Fermat 1601~1665)原理:光線從一點行至另一點所走的路徑 依所需時間之最短者
因為時間有其侷限 所以改成作用量
最小作用量原理最早是誰提出的
有人說是尤拉(L.Euler 1707~1783)(數學與猜想 p.131)
有人說是Pierre L.M. de Maupertuis 1698~1759(西方文化中的數學 p.235)
這並不重要 真理就在那裏 我們只是去發現 這叫做柏拉圖主義
就像三角形面積公式的發現 海龍與秦九韶 前後也相距一千多年
......
光是宇宙中最神聖的象徵 聖經創世紀 上帝說:要有光 於是就有了光
光走最短的路徑(或者 最小時間 最小作用量)似乎具有神性
一直以來都是那麼引人入勝
一直到普朗克(Planck 1858~1947)暗示量子力學可以用最小作用量原理來詮釋
西方的科技文明有兩大支柱:(1)希臘精神 (2)基督教的精神
故事的源頭始終來自希臘 經過理性主義的復甦 到近代物理
兩千年雖久遠 稍縱即逝
至於要完美出桿 那還得再修練五百年