微分幾何筆記

向量場

  1. 向量 張量 [Vectorfields] 旋量[Spinor]
  2. 奇點的標數把Gauss-Bonnet定理(切線轉角定理是特例)與Hopf-Poincare定理結合在一起
  3. 散度(Divergence)定理:通量對體積的變化率 是Stokes定理的特例 從古典微分幾何推廣到manifold上
  4. 在曲率的脈絡上 [Christoffel symbols]對廣義相對論提供了數學(計算)基礎 用Euler-Lagrange equation[R.Herman]可方便求之
  5. [Parallel and Foucault] 鐘擺運動的方向是幻象
  6. 指數映射 [Exponential map]是一個局部的可微同胚(local diffeomorphism) 可以建構(1)正則鄰域 (2)Jacobi field
  7. 何謂可積   [Frobenius theorem] 有兩種形式 (1)vector fields (2)differential forms
  8. 許多場都是從測地線 [Geodesics]說起 例如 Jacobi場 Killing場
  9. 似乎Jacobi場有很深的物理意義  CMC上的Jacobi場
  10. 各種幾何流線[Flows] 

微分式(Differential forms)

  1. [Differential forms]把計算整合起來 例如[Stokes] [Structure equation]
  2. Check a formula of differential form dw(X^Y)=
  3. 流形上有三個微分運算 Cartan magic formula把它們串起來  [elementary proof] by Oleg Zubelevich [ResearchGate]

曲率

  1. 黎曼流形(M,g)  度量[metric] 決定流形的性質   [induced metric]
  2. 曲率[Curvature]作用在物質上 顯現出重力 energy-momentum影響時空 創造出曲率
  3. [Ricci tensor]據說反映非歐幾何中體積的扭曲
    (1)據稱Sir Halmiton在衝浪時想到Ricci flow
    (2)Cedric Villani流連在羊角麵包店時 思考著最優運輸
    (3)Ricci curvature for BH
  4. 幾何與廣義相對論中的純量曲率

變分法

  1. 變分法 [Variations] 幾何變分學是[大域微分幾何]的第三卷

雜記

  1. 據說宇宙有可能是[S^3] H.Poincare R.Hamiton G.Perelman   [S^2 and IxS^2]
  2. 用高斯曲率分類: [Hyperbolic plane] K=-1   [Torus] K=0  [Sphere] K=1   Hyperbolic plane上的一個保映射射(isometry)
    在可積的動力系統一文中提到 :  Richard S. Palais的Homepage中蒐集了各種Seudosphere(偽球曲面) [滕楚蓮Chuu-Lian Terng]
  3. (1)何謂對稱  [Killing vectors and Symmetry]
    (2)自然的內稟(intrinsic)幾何對稱   Stefan Haesen
    (3)Noether定理:對稱與守恆律
  4. 對兩黎曼流形的曲率關係比較相應的微分幾何與拓撲性質，然後研究標準空間(例如常曲率流形)的性質，這方面的結果稱為 [Comparison theorems] 。
  1. [時空的樂章---引力波百年漫談]
  2. [相對論中一些未解決的問題]
  3. 黎曼流形與人工智能         [The Manifold Ways of Perception]      黎曼流形與流形學習
  4.  [John Lighton Synge 1897~1995] [GR:Papers in honour of J.L.Synge]
    潮汐力(tidal force)   [Distant star moved by tides] (原文)
    Jacobi field and Tidal Effects in Kerr spacetime
  5. 微分幾何(幾何分析) 老顧有真實本領 :   [ResearchGate] [Homepage]
    將幾何分析推廣到工程實踐是老顧銘記在心的歷史使命    [A new Gold Age of Minimal Surfaces] [我看Antoni Gaudi]
    這裡有提到Ricci flow 的應用
    顧險峰    先生的3D世界 與Computational Conformal Geometry
    微分幾何的逼近理論(1)  (2)
  6. 宇宙論[FLRW model參考書目(1) p.284 CH 6.6)
  7. [丘成桐]   [從細胞世界看微分幾何](林俊吉)

習作

  1. [Exercises]  
  1. An Introduction to Riemannian Geometry     Jose Natario
  2. Riemannian Geometry                                   Manfredo P. do Carmo
  3. Spacetime and Geometry                              Sean Carroll     [ProfoundPhysics]
  4. 物理學家用微分幾何 侯伯元 侯伯宇        檔名 DGforP
  5. Differential Geometry in Physics                   Gabriel Lugo  [ResearchGate]
  6. Geometry of Manifolds                                 Richard L.Bishop
  7. Lectures on Geometry of Manifolds              Liviu I. Nicolaescu
  8. 大域微分幾何                                             黃武雄
  9. 微分幾何講義                                             陳省身
  10. Differental Geometry                                    杜武亮
  11. An Introduction to Manifolds                       杜武亮
  12. Differential Forms and Connections              Richard W.R. Darling
  13. Differential Forms for Physics Students        William O. Straub
  14. A course in modern mathematical physics    Peter Szekeres
  15. Differential Geometry with Application to Mechanics and Physics        Yves Talpaert
  16. Mathematical physics : Classical Mechanics  Andreas Kmauf
  17. Differential forms with applications to the physical sciences          Harley Flanders
  18. A Course in Differential Geometry by Thierry Aubin (1942~2009) Yamabe problem
  19. 教科書/參考書書評   [Books]                    [Differential Geometry論壇]
  20. Riemannian Geometry                                  Peter Petersen    Exercises