建構主義

這裡要講的是數學的建構主義。

在數學上，有一種理論是回答"有沒有解"，"有多少解"的，這種理論稱為"存在性的"。
另一種理論是教你如何在有限步驟內把解具體的求出來，這種理論就叫作"建構性的"。

例如代數基本定理說：一元n次方程式至少有一複數根。這是存在性的定理。如果以不動點定理為理論基礎，用電腦把解找出來，這就是建構性理論。

堅持把一個抽象理論中的東西建構出來才承認其存在的主張，叫作"建構主義"。例如"理性之夢"一書中，作者裴格爾斯(Heinz R. Pagels 1939~1988)問達賴喇嘛：人工智慧是否一輪迴體？達賴喇嘛要裴格爾斯在人工智慧弄出來之後再討論這一話題，達賴喇嘛的態度就是嚴格建構主義的。

建構主義源自布勞威爾(L.E.J.Brouwer 1881~1966)1912的直覺論者(intuitionist)，主要是反對「排中律」，也就是反對歸謬證法。認為間接證法的邏輯形式只告訴我們不是什麼，而無法告訴我們是什麼，於是他們尋求一種所謂的建構式證明。換句話說，他們認為用歸謬證法證明「不是有理數」並沒有告訴我們是甚麼。

以演算法(algorithm)的角度而言，歐幾里德尺規作圖的建構法(Euclidean Costruction)是包含演算與證明的基模(Schema)，滿足演算法的條件：明確的(unambiguous)，有效的(correct)，與有限步驟的(terminating)。

那麼歐幾里德能否稱為建構主義的鼻祖？

「具體數學」一書是台大資工系的教材，作為演算法的數學基礎。作者宣稱具體數學就是尤拉數學(Leonhard Euler 1707~1783)，因為尤拉的精神活在書中每一頁中。
因此我相信尤拉是一位建構主義數學家。

希爾伯特(David Hilbert1862~1843)的學派稱為形式學派，把數學完全公設化，到目前為止，我們所用的數學都是形式學派的數學。
換句話說直覺論學派在第一回合敗下陣來。

未來數學的主流會不會因為電腦科學而讓直覺論學派(建構主義)復活？我想這是包括李國偉先生(1948~)、吳文俊先生(1919~)、Stephen Wolfram(1959~)等人所非常關切的課題。

§註

1.  這裡所稱之建構主義與所謂建構式數學沒有關聯。

2.  演算法在中國古代稱為「術」，最早出現在周髀算經、九章算經。例如輾轉相除法稱為「更相減損求等」。解一次同餘組稱為「大衍求一術」。

3. 理性之夢一書中,向無限挑戰篇對包括直覺論學派的各數學學派及其哲學有極精闢之見解。

4.  L.E.J.Brouwer(1882~1966)在1910年發現「不動點定理」。

5.  關於演算法的複雜度及阿波羅問題有興趣者請看:Computational Geometry:An Introduction by.P.Preparata&M.I.Shamos

§參考資料

1.      M.Kline:Mathematical thoughts from ancient to modern times p.1192

2.      牛頓雜誌122期 Galois

3.      理性之夢(天下文化出版)  p.322

4.      代數方程解法(江澤涵1902~1994 凡異出版社)  p.125

5.      孔子與數學(明文書局)洪萬生著  p.13

6.      皇帝新腦(The Emperor's New Mind by Roger Penrose)藝文印書館 p.133

7.      馮紐曼(牛頓出版社) p.111

8.      中國的一頁滄桑http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_08_05_3/index.html

9.      新科學http://www.wolframscience.com/

10.  中國科技史論文集(李國偉)聯經出版社