天才之旅

作者:William Dunham.林傑斌先生翻譯,余文卿先生審定(牛頓出版社)
這是一本為一般大眾所寫的數學史的書,談論數學史上偉大定理的重要所在-----其洞察力與創造性,以及數學家解決問題的方法。
每章後面的結語對定理的來龍去脈多有俾益。適合中學教師或對數學蠻有興趣的高中學生課外閱讀,需要細細品嚐。

1. Hippocrates的新月形平方法
   • 從尺規作圖到為什麼"化圓為方"是不可能的(Ferdinand Lindermann 1882) p.28
2. 歐幾里德(Euclid)對畢氏定理的證明(約西元前300年)
   • 歐幾里德對演繹法的重視,使得"幾何原本"歷經2000年仍然歷久彌新
   • "三角形任兩邊和大於第三邊"(命題20)是一個非常顯然的事實,為什麼還要證明?p.47
   • 如何巧妙地證明畢氏定理p.54
   • 由公設(5)到非歐幾何的簡史
3. 歐幾里德(Euclid)與質數無窮論
   • 第一個完全數(perfect number)是6=1+2+3,第二個是28,...
     若1+2+4+...+2ⁿ是質數,則N=2ⁿ(1+2+...+2ⁿ)是一個完全數
     這樣的質數叫作梅仙尼質數(Mersenne primes) p.86
     有沒有奇完全數是一個open problem
   • 歸繆證法的第一個應用:質數有無窮多個 。
   • 正多面體(regular solids)p.90有五種:(及其證明)
4. Archimedes(287~212B.C.)求圓的面積
   • 阿基米德是裸奔的始祖 。
   • 有人說,歷史上最偉大的物理學家是:1.阿基米德 2.牛頓 3.愛因斯坦 4.楊振寧
   • 最偉大的鉅作:論球體與圓柱體p.15
   • 你知道球面積與體積的關係嗎?
   • 的簡史p.120
5. Heron的三角形面積公式
   • Eratosthenes( 284~192B.C.):
     1.關於質數的篩法(sievs method)
     2.對地球周長的測定-------宇宙的詩篇
   • Apollonius (262~190 B.C.):
     圓錐曲線論
   • Heron:
     1.Dioptra----解釋挖掘山洞與測量泉水流量 。
     2.Metrica(測量術)----你想知道三角形面積公式的古典證法嗎?
     EX:從Heron公式證明畢氏定理 p.145
   • 從西元641年到1085年阿拉伯人是希臘文明的守護神,歐洲在文藝復興時甦醒過來 。
6. Cardano與三次方程式的解
   • 三次方程式的公式解的故事當然要一直說到Galois的群論為止 。 
   • 我最近遇到好幾個"不可能"的定理:
     1.一元5次方程式沒有公式解
     2.不完全定理
     3.不存在判定一個Diophine方程式有沒有整數解的算法(algorithm)(Hilbert第10問題)
     還有什麼"不可能"的事?!
7. Newton(1642~1727)的寶石
   1. 二項式定理(binomial theorem)(1665年)
   2. 分析學(1669年)
   3. 自然哲學的數學原理(1687年)
   4. 光學(1704年)
8. Bernoulli兄弟與調和級數
9. Euler奇特的求和方法
10. Euler的數論
11. 連續統的不可數性質
12. Cantor與超限王國

後記:

1. 我一直以為:"三角形任兩邊和大於第三邊"的證明是直接由公設(1)("由任意點到任意點可作一直線") 得到,看了本書才恍然大悟 。真是愧對歐幾里德了 。
2. 外國人名還是應該都註明英文,例如歐都克斯 p.32

數學傳播季刊第20卷第1期---余文卿:談"天才之旅"
歐幾里得 幾何原本(九章出版社 )

Download