自旋與譜理論筆記

  1. 黎曼幾何 :  (1)Levi-Civita connection  (2)曲率張量  (3)Laplace–Beltrami  (4)Bochner identity
  2. 橢圓算子與Sobolev理論 :  (1)Principal symbol (2)橢圓性  (3)Garding不等式  (4)自伴算子譜離散性
  3. Clifford代數 : (1)Cl(n)分類  Cl(3) Cl(4)   (2)Clifford乘法
  4. Spin群與表示 : (1)Spin(n)-->SO(n)  (2)Liealgebra層級理解  (3)旋量表示
  5. 主叢與Spin結構 : (1)Frame bundle  (2)lifting 問題
  6. 旋量叢與Spin connection : (1)旋量叢結構  (2)Spin connection
  7. Dirac算子 : (1)定義與基本性質  (2)自伴性與橢圓性
  8. Weitzenbock與Lichnerowicz
  9. 特徵值估計: (1)Friedrich不等式  (2)Hijazi型估計
  10. 熱核存在與基本性質   (1)heat semigroup  (2)kernek existence  (3)trace formula
  11. Weyl定律  (1)Laplacian  (2)Dirac版本
  12. Seeley-DeWitt-Gilkey展開  (1)熱核漸近展開
  13. Fredholm與指標  (1)Fredholm算子  (2)解析指標 (3)變形不變性
  14. Atiyah-Singer Index定理
  15. η-不變量與APS index theorem
  16. 正能量定理(Spinor方法)
  17. 附錄A  橢圓算子的譜理論基礎
  18. 附錄B 特徵值估計技巧

Spectral Morse Theory

Witten deformation 與譜模型

1.1 Morse function   1.2 Morse index   1.3 Morse complex   2.1 Hodge theory   3.1 Witten deformation

小譜局部化與半經典分析

4.1 臨界點附近的局部模型   5.1 小特徵值數量估計   6.1 譜間隙

Morse不等式的譜證明與延伸

7.1 從小譜到Morse不等式   8.1 半經典tunneling與微妙現象   9.1 高階延伸